Ce este teorema lui Bayes?
Teorema lui Bayes, numită după matematicianul britanic Thomas Bayes din secolul al XVIII-lea, este o formulă matematică pentru determinarea probabilității condiționate. Probabilitatea condiționată este probabilitatea ca un rezultat să apară, pe baza unui rezultat anterior care a avut loc în circumstanțe similare. Teorema lui Bayes oferă o modalitate de a revizui predicțiile sau teoriile existente (probabilități de actualizare) având în vedere dovezi noi sau suplimentare.
În finanțe, teorema lui Bayes poate fi utilizată pentru a evalua riscul de a împrumuta bani potențialilor debitori. Teorema se mai numește și Regula lui Bayes sau Legea lui Bayes și este fundamentul domeniului statisticii bayesiene.
Recomandări cheie
- Teorema lui Bayes vă permite să actualizați probabilitățile prezise ale unui eveniment prin încorporarea de noi informații.
- Teorema lui Bayes a fost numită după matematicianul din secolul al XVIII-lea Thomas Bayes.
- Este adesea folosit în finanțe pentru calcularea sau actualizarea evaluării riscurilor.
- Teorema a devenit un element util în implementarea învățării automate.
- Teorema a fost nefolosită timp de două secole din cauza volumului mare de capacitate de calcul necesară pentru a-și executa tranzacțiile.
Înțelegerea teoremei lui Bayes
Aplicațiile teoremei lui Bayes sunt larg răspândite și nu se limitează la domeniul financiar. De exemplu, teorema lui Bayes poate fi utilizată pentru a determina acuratețea rezultatelor testelor medicale, luând în considerare cât de probabil este o persoană dată de a avea o boală și acuratețea generală a testului. Teorema lui Bayes se bazează pe încorporarea distribuțiilor de probabilitate anterioare pentru a genera probabilități posterioare.
Probabilitatea anterioară, în inferența statistică bayesiană, este probabilitatea ca un eveniment să se producă înainte ca noi date să fie colectate. Cu alte cuvinte, reprezintă cea mai bună evaluare rațională a probabilității unui anumit rezultat pe baza cunoștințelor curente înainte de efectuarea unui experiment.
Probabilitatea posterioară este probabilitatea revizuită ca un eveniment să se producă după luarea în considerare a noilor informații. Probabilitatea posterioară este calculată prin actualizarea probabilității anterioare folosind teorema lui Bayes. În termeni statistici, probabilitatea posterioară este probabilitatea ca evenimentul A să se producă, având în vedere că evenimentul B a avut loc.
consideratii speciale
Teorema lui Bayes dă astfel probabilitatea unui eveniment bazată pe informații noi care sunt sau pot fi legate de acel eveniment. Formula poate fi folosită și pentru a determina modul în care probabilitatea ca un eveniment să se producă poate fi afectată de informații noi ipotetice, presupunând că noile informații se vor dovedi adevărate.
De exemplu, luați în considerare extragerea unei singure cărți dintr-un pachet complet de 52 de cărți.
Probabilitatea ca cardul să fie rege este de patru împărțit la 52, ceea ce este egal cu 1/13 sau aproximativ 7,69%. Amintiți-vă că sunt patru regi în punte. Acum, să presupunem că este dezvăluit că cartea selectată este o carte cu față. Probabilitatea ca cartea selectată să fie un rege, având în vedere că este o carte de față, este de patru împărțite la 12, sau aproximativ 33,3%, deoarece există 12 cărți de față într-un pachet.
Formula pentru teorema lui Bayes
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
⋂
B
)
P
(
B
)
=
P
(
A
)
⋅
P
(
B
∣
A
)
P
(
B
)
Unde:
P
(
A
)
=
Probabilitatea ca A să apară
P
(
B
)
=
Probabilitatea ca B să apară
P
(
A
∣
B
)
=
Probabilitatea A dat B
P
(
B
∣
A
)
=
Probabilitatea lui B dat fiind A
P
(
A
⋂
B
)
)
=
Probabilitatea ca A și B să apară
\begin{aligned} &P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\bigcap{B}\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left (A\right)\cdot{P\left(B|A\right)}}{P\left(B\right)}\\ &\textbf{unde:}\\ &P\left(A\right)= \text{ Probabilitatea ca A să apară}\\ &P\left(B\right)=\text{ Probabilitatea ca B să apară}\\ &P\left(A|B\right)=\text{Probabilitatea ca A dat B}\\ &P\left(B|A\right)=\text{ Probabilitatea lui B dat A}\\ &P\left(A\bigcap{B}\right))=\text{ Probabilitatea ambelor A și B care apare}\\ \end{aliniat} P(A∣B)=P(B)P(A⋂B)=P(B)P(A)⋅P(B∣A)Unde:P(A)= Probabilitatea ca A să aparăP(B)= Probabilitatea ca B să aparăP(A∣B)=Probabilitatea A dat BP(B∣A)= Probabilitatea lui B dat fiind AP(A⋂B))= Probabilitatea ca A și B să apară
Exemple de teorema lui Bayes
Mai jos sunt două exemple de teorema lui Bayes în care primul exemplu arată cum poate fi derivată formula într-un exemplu de investiții în acțiuni folosind Amazon.com Inc. (AMZN). Al doilea exemplu aplică teorema lui Bayes la testarea medicamentelor farmaceutice.
Derivarea formulei teoremei lui Bayes
Teorema lui Bayes decurge pur și simplu din axiomele probabilității condiționate. Probabilitatea condiționată este probabilitatea unui eveniment dat fiind că a avut loc un alt eveniment. De exemplu, o întrebare simplă de probabilitate poate pune: „Care este probabilitatea ca prețul acțiunilor Amazon.com să scadă?” Probabilitatea condiționată duce această întrebare un pas mai departe, întrebând: „Care este probabilitatea ca prețul acțiunilor AMZN să scadă dat fiind indicele Dow Jones Industrial Average (DJIA) a scăzut mai devreme?”
Probabilitatea condiționată a lui A dat fiind că B sa întâmplat poate fi exprimată astfel:
Dacă A este: „Prețul AMZN scade”, atunci P(AMZN) este probabilitatea ca AMZN să scadă; iar B este: „DJIA este deja în jos”, iar P(DJIA) este probabilitatea ca DJIA să cadă; atunci expresia probabilității condiționate este „probabilitatea ca AMZN să scadă în cazul unei scăderi DJIA este egală cu probabilitatea ca prețul AMZN să scadă și DJIA să scadă peste probabilitatea unei scăderi a indicelui DJIA.
P(AMZN|DJIA) = P(AMZN și DJIA) / P(DJIA)
P(AMZN și DJIA) este probabilitatea de ambii A și B apar. Aceasta este, de asemenea, aceeași cu probabilitatea ca A să apară înmulțită cu probabilitatea ca B să apară, dat fiind că A apare, exprimată ca P(AMZN) x P(DJIA|AMZN). Faptul că aceste două expresii sunt egale duce la teorema lui Bayes, care este scrisă astfel:
dacă, P(AMZN și DJIA) = P(AMZN) x P(DJIA|AMZN) = P(DJIA) x P(AMZN|DJIA)
apoi, P(AMZN|DJIA) = [P(AMZN) x P(DJIA|AMZN)] / P(DJIA).
Unde P(AMZN) și P(DJIA) sunt probabilitățile ca Amazon și Dow Jones să cadă, fără a se ține seama unul de celălalt.
Formula explică relația dintre probabilitatea ipotezei înainte de a vedea dovezile că P(AMZN) și probabilitatea ipotezei după obținerea dovezilor P(AMZN|DJIA), având în vedere o ipoteză pentru Amazon dată dovezi în Dow.
Exemplu numeric al teoremei lui Bayes
Ca exemplu numeric, imaginați-vă că există un test de droguri cu o acuratețe de 98%, ceea ce înseamnă că 98% din timp arată un rezultat adevărat pozitiv pentru cineva care utilizează medicamentul și, în 98% din timp, arată un rezultat negativ adevărat. pentru neutilizatorii de droguri.
Apoi, să presupunem că 0,5% dintre oameni folosesc drogul. Dacă o persoană selectată la întâmplare are rezultate pozitive pentru drog, se poate face următorul calcul pentru a determina probabilitatea ca persoana să fie de fapt un consumator de drog.
(0,98 x 0,005) / [(0.98 x 0.005) + ((1 – 0.98) x (1 – 0.005))] = 0,0049 / (0,0049 + 0,0199) = 19,76%
Teorema lui Bayes arată că, chiar dacă o persoană a fost testată pozitiv în acest scenariu, există o șansă de aproximativ 80% ca persoana să nu ia medicamentul.
Întrebări frecvente.
Care este istoria teoremei lui Bayes?
Teorema a fost descoperită printre lucrările ministrului și matematicianului presbiterian englez Thomas Bayes și publicat postum fiind citit către Societatea Regală în 1763. Mult timp ignorată în favoarea calculelor booleene, teorema lui Bayes a devenit recent mai populară datorită capacității crescute de calcul pentru efectuarea calculelor sale complexe.
Aceste progrese au condus la o creștere a aplicațiilor folosind teorema lui Bayes. Acum se aplică la o mare varietate de calcule de probabilitate, inclusiv calcule financiare, genetică, consum de droguri și controlul bolilor.
Ce spune teorema lui Bayes?
Teorema lui Bayes afirmă că probabilitatea condiționată a unui eveniment, bazată pe apariția unui alt eveniment, este egală cu probabilitatea celui de-al doilea eveniment dat fiind primul eveniment înmulțit cu probabilitatea primului eveniment.
Ce se calculează în teorema lui Bayes?
Teorema lui Bayes calculează probabilitatea condiționată a unui eveniment, pe baza valorilor probabilităților cunoscute specifice.
Ce este un calculator pentru teorema lui Bayes?
Calculatorul teoremei lui Bayes calculează probabilitatea unui eveniment A condiționat de un alt eveniment Bavând în vedere probabilitățile anterioare de A și Bși probabilitatea de B conditionat de A. Acesta calculează probabilitățile condiționate pe baza probabilităților cunoscute.
Cum este folosită teorema lui Bayes în învățarea automată?
Teorema Bayes oferă o metodă utilă pentru a gândi relația dintre un set de date și o probabilitate. Cu alte cuvinte, teorema spune că probabilitatea ca o ipoteză dată să fie adevărată pe baza unor date observate specifice poate fi afirmată ca găsirea probabilității de a observa datele date fiind ipoteza înmulțită cu probabilitatea ca ipoteza să fie adevărată indiferent de date, împărțită prin probabilitatea observării datelor indiferent de ipoteză.
Concluzia
Cel mai simplu, teorema lui Bayes ia un rezultat al testului și îl raportează la probabilitatea condiționată a acelui rezultat al testului având în vedere alte evenimente înrudite. Pentru false pozitive cu probabilitate mare, teorema oferă o probabilitate mai motivată a unui anumit rezultat.
